Tropická geometrie

Tropická kubická křivka

Tropická geometrie je odvětví matematiky, které se zabývá studiem polynomů a jejich geometrických vlastností, když je sčítání nahrazeno minimalizací a násobení sčítáním:

$x\oplus y=\min\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

Například tropickým protějškem klasického polynomu $x^{3}+2xy+y^{4}$ je $\min\{x+x+x,\;2+x+y,\;y+y+y+y\}$. Takové polynomy a jejich řešení mají důležité aplikace při řešení optimalizačních problémů, například problému optimalizace časů odjezdů pro síť vlaků.

Tropická geometrie je variantou algebraické geometrie, ve které se grafy polynomů podobají po částech lineárním sítím, a v níž čísla patří do tropického polookruhu místo tělesa. Protože klasická a tropická geometrie jsou blízce příbuzné, výsledky a metody lze mezi nimi převádět. Algebraické variety lze mapovat na tropické protějšky, a protože tento převod zachovává určité geometrické informace o původních veličinách, lze je použít jako nápovědu pro ukázat a zobecnění klasických výsledků z algebraické geometrie, jako je věta Brillova–Noetherové, pomocí nástrojů tropické geometrie.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Tropical geometry na anglické Wikipedii.

• Maslov, Victor (1986). „New superposition principle for optimization problems“, Séminaire sur les Équations aux Dérivées Partielles 1985/6, Centre de Mathématiques de l’École Polytechnique, Palaiseau, exposé 24.
• Maslov, Victor (1987). „Méthodes Opératorielles“. Moscou, Mir, 707 p. (Viz Kapitola 8, Théorie linéaire sur semi moduli, pp. 652–701).
• BOGART, Tristram; JENSEN, Anders; SPEYER, David; STURMFELS, Bernd; THOMAS, Rekha, 2005. Computing Tropical Varieties. Journal of Symbolic Computation. Roč. 42, čís. 1–2, s. 54–73. DOI 10.1016/j.jsc.2006.02.004. S2CID 24788157. Bibcode 2005math......7563B. arXiv math/0507563. 
• EINSIEDLER, Manfred; KAPRANOV, Mikhail; LIND, Douglas, 2006. Non-archimedean amoebas and tropical varieties. J. Reine Angew. Math.. Roč. 601, s. 139–157. Bibcode 2004math......8311E. arXiv math/0408311. 
• Gathmann, Andreas. arXiv: math/0601322v1
• GROSS, Mark, 2010. Tropical geometry and mirror symmetry. Providence, R.I.: Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society with support from the National Science Foundation. ISBN 9780821852323. 
• ITENBERG, Illia; Grigory Mikhalkin; Eugenii Shustin, 2009. Tropical algebraic geometry. 2. vyd. Basel: Birkhäuser Basel. ISBN 9783034600484. 
• MACLAGAN, Diane; STURMFELS, Bernd, 2015. Introduction to tropical geometry. [s.l.]: American Mathematical Soc.. ISBN 9780821851982. 
• Mikhalkin, Grigory. arXiv: math/0601041v2
• Mikhalkin, Grigory. arXiv: math/0312530v4
• Mikhalkin, Grigory. arXiv: math/0403015v
• PACHTER, Lior; STURMFELS, Bernd, 2004. Tropical geometry of statistical models. Proceedings of the National Academy of Sciences. Roč. 101, čís. 46, s. 16132–16137. DOI 10.1073/pnas.0406010101. PMID 15534224. Bibcode 2004PNAS..10116132P. arXiv q-bio/0311009. 
• Speyer, David E.. arXiv: math/0304218v3
• SPEYER, David; STURMFELS, Bernd, 2009. Tropical Mathematics. Mathematics Magazine. Roč. 82, čís. 3, s. 163–173. DOI 10.4169/193009809x468760. S2CID 119142649. arXiv math/0408099. 
• Theobald, Thorsten. arXiv: math/0306366v2

Literatura

• , 2013. Tropical and non-Archimedean geometry. Bellairs workshop in number theory, tropical and non-Archimedean geometry, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, USA, May 6–13, 2011. Providence, RI: Americká matematická společnost. (Contemporary Mathematics). ISBN 978-1-4704-1021-6. 
• Tropical geometrie a zrcadlo symetrie

Související články

• Tropická analýza
• Tropická kompaktifikace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Tropická geometrie na Wikimedia Commons
• Tropical Geometrie, I